Сложное соединение резисторов. Преобразование звезда-треугольник

В статье Соединение резисторов было показано, как осуществлять расчет сопротивления цепей со смешанным соединением резисторов.

Для расчета сопротивления таких соединений, всю цепь разбивают на простейшие участки, из параллельно или последовательно соединенных резисторов. Далее осуществляется поэтапный расчет сопротивления этих участков и включение их в общую цепь.

Однако существуют более сложные схемы, в которых мы не может рассматривать участки, как комбинации последовательных или параллельных соединений резисторов. 

Подобная схема представлена на рисунке 1. Эта так называемая схема H-контура. 

Рисунок 1. Смешанное соединение резисторов в виде H-цепи. 

Для решения данной задачи рассмотрим преобразование соединения резисторов по схеме типа «звезда» в соединение типа «треугольник».

Рассмотрим схемы, представленные на рисунке 2.

Рисунок 2. Преобразование звезды в треугольник. 

Преобразование схемы осуществляется по расчетам, в основе которых заложен постулат: «при одинаковых напряжениях между одноименными точками схемы (1, 2, 3), токи, которые втекают в одноименные точки должны быть одинаковыми»

В данной статье не будем приводить сложные математические выводы формул для преобразования, а приведем конечный результат. 

Для преобразования схемы из «звезды» в «треугольник» используем следующие выражения:

Для преобразования схемы из «треугольника» в «звезду» используем следующие формулы: 

Индексы резисторов, используемых в формулах, соответствуют индексам приведенных на схеме (рисунок 2).

Теперь вернемся к схеме, представленной на рисунке 1. 

Допустим: R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 30 Ом, R4 = 40 Ом и R5 = 50 Ом.

При внимательном рассмотрении схемы, можно увидеть, что соединение резисторов R1, R2, R3 представляют собой ничто иное, как соединение типа «треугольник». Поэтому заменим обозначение резисторов R1, R2, R3 на R12, R13, R23 соответственно.

Сделаем преобразование треугольника в звезду и получим следующую простую схему со смешанным соединением резисторов.

Рисунок 3. Преобразование H-цепи. 

Рассчитаем сопротивление резисторов R10, R20, R30

Получившаяся схема представляет собой комбинацию из последовательных и параллельных участков цепи. 

Используя алгоритм из статьи "Соединение резисторов" расчет данной цепи остается простой задачей. Опустив все расчеты представим результат расчета сопротивления схемы, которое составило 29,05 Ом

Маленькие хитрости при расчете сложных смешанных цепей (приблизительный подход)

Иногда от больших вычислений можно избавиться, используя некоторые маленькие хитрости.

Для этого рассмотрим две «экстремальные» ситуации. Вернемся к схеме представленной на рисунке 3а.

Если мысленно убрать резистор R23 и ничего не ставить на его место, общее сопротивление цепи должно увеличиться. (Подумайте: если в цепи мы начнем увеличивать номиналы резисторов, то полное сопротивление никогда не может быть меньше первоначального, а в данном случае мы увеличили значение R23 до бесконечности).

Общее сопротивление цепи теперь легко рассчитывается и будет составлять 29,16 Ом.

Теперь заменим R23 на другую крайность: проводное соединение (представим, что уменьшаем сопротивление резистора R23до нуля Ом). Теперь рассчитать общее сопротивление цепи, тоже будет простой задачей и результат составит 28,8 Ом.

Подведём итог. Независимо от фактического значения сопротивления R23, значение общего сопротивление цепи должно лежать между значениями 28,8 … 29,16 Ом. На практике, когда (как в этом примере) эти значения не различаются больше чем процент или два, мы можем работать со средним значением этих крайних значений. 

В любом случае этот метод нужно использовать с осторожностью, так как разница в крайних значениях может быть достаточно большой.